Question

）设，函数.

（Ⅰ）若，试求函数的导函数的极小值；

（Ⅱ）若对任意的，存在，使得当时，都有，求实数的取值范围.

Answer

【解析】
（Ⅰ）当时，函数，

则的导数，的导数. ………………………2分

显然，当时，；当时，，

从而在内递减，在内递增. …………………………………………4分

故导数的极小值为  …………………………………………………6分

（Ⅱ）解法1：对任意的，记函数，

根据题意，存在，使得当时，.

易得的导数，的导数…………9分

①若，因在上递增，故当时，>≥0，

于是在上递增，则当时，>，从而在上递增，故当时，，与已知矛盾 ……………………………………11分

②若，注意到在上连续且递增，故存在，使得当

，从而在上递减，于是当时，，

因此在上递减，故当时，，满足已知条件……13分

综上所述，对任意的，都有，即，亦即，

再由的任意性，得，经检验不满足条件，所以…………………………15分

解法2：由题意知，对任意的，存在，使得当时，都有成立，即成立，则存在，使得当时，成立，

又，则存在，使得当时，为减函数，即当时使成立，

又，故存在，使得当时为减函数，

则当时成立，即，得.

【解析】略