Question

（本小题满分14分）

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，(p – 1)S_n = p² – a_n，n ∈N^*，p > 0且p≠1，数列{b_n}满足b_n = 2log_pa_n．

（Ⅰ）若p =，设数列的前n项和为T_n，求证：0 < T_n≤4；

（Ⅱ）是否存在自然数M，使得当n > M时，a_n > 1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）【解析】
由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*)                 ①

       由(p – 1)Sn – 1 = p2 – an – 1                                 ②

       ① – ②得(n≥2)

       ∵an > 0 (n∈N*)

又(p – 1)S1 = p2 – a1，∴a1 = p

{an}是以p为首项，为公比的等比数列

an = p

bn = 2logpan = 2logpp2 – n

∴bn = 4 – 2n ………… 4分

   证明：由条件p =得an = 2n – 2

       ∴Tn =                   ①

                      ②

① – ②得

= 4 – 2 ×

= 4 – 2 ×

∴Tn =………… 8分

Tn – Tn – 1 =

当n > 2时，Tn – Tn – 1< 0

所以，当n > 2时，0 < Tn≤T3 = 3

又T1 = T2 = 4，∴0 < Tn≤4．…………10分

   （Ⅱ）【解析】
若要使an > 1恒成立，则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论

       当p > 1时，2 – n > 0，n < 2

       当0 < p < 1时，2 – n < 0，n > 2

       ∴当0 < p < 1时，存在M = 2

       当n > M时，an > 1恒成立．………… 14分

【解析】略