Question

如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且,,点是中点．

（Ⅰ）若为中点，证明：//平面；

（Ⅱ）若是边上任一点，证明：；

（Ⅲ）若，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（I）E为BC中点，F为PB中点

∴EF∥CP   CP平面PAC，平面PAC

∴EF∥平面PAC

（II）∵PA⊥平面ABCD    ∴PA⊥BC

又AB⊥BC

    ∴BC⊥平面PAB     BC⊥AF

又PA=AB，F为PB中点，∴PB⊥AF

，AF⊥平面PBC    ∴AF⊥PE

（III）分别以直线AD、DB、DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

P(0,0,1)    B(0,1,0)，

设平面PDE的一个法向量为

令x=1得平面PDE和一个法向量

又   AP与平面PDE所成角为

PA与平面PDE所成角正弦值为.

【解析】略