Question

如图，在三棱锥中，底面ABC

，点、分别在棱上，且  http://wx.jtyjy.com/   

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成角的大小的余弦值；

（Ⅲ）是否存在点，使得二面角为直二面角？并说明理由.

Answer

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.  又，∴AC⊥BC.

又    ∴BC⊥平面PAC.————3分

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，  ∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，   ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，————5分

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴与平面所成的角的大小的余弦值.————8分

（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，

故存在点E使得二面角是直二面角.————13分

【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，—1分

 设，由已知可得 .

（Ⅰ）∵，   ∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. ————3分 

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，  ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.    ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵，

∴.————7分

∴与平面所成的角的大小的余弦值

【解析】略