Question

在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．

⑴求轨迹的方程；

⑵当时，证明直线过定点．

Answer

⑴∵点到，的距离之和是，∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦距为的椭圆，其方程为．

⑵将，代入曲线的方程，整理得 ，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以  ①

设，，则，  ②

且③

显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，．由，得．

将②，③代入上式，整理得．所以，即或．经检验，都符合条件①，

当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．

当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点，且不过点．

综上，与的关系是：，且直线经过定点点．

【解析】略