Question

（本题满分12分）

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，)在直线y＝x＋上．数列{b_n}满足b_n＋2－2b_n＋1＋b_n＝0(n∈N^*)，b₃＝11，且其前9项和为153.

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)设c_n＝，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer

【解析】
(1)由已知得＝n＋，∴Sn＝n2＋n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝n＋5；

当n＝1时，a1＝S1＝6也符合上式．∴an＝n＋5.

由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)知{bn}是等差数列，

由{bn}的前9项和为153，可得＝9b5＝153，

得b5＝17，又b3＝11，∴{bn}的公差d＝＝3，b3＝b1＋2d，

∴b1＝5，∴bn＝3n＋2.

(2)cn＝＝(－)，

∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)

＝(1－)．∵n增大，Tn增大，∴{Tn}是递增数列．∴Tn≥T1＝.

Tn＞对一切n∈N*都成立，只要T1＝＞，

∴k＜19，则kmax＝18.

【解析】略