Question

（理数）（14分） 已知函数，．

（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－ [h(x)]，求F(x)的单调区间与极值；

（Ⅱ）设，解关于x的方程；

（Ⅲ）设，证明：．

Answer

（理数） 【解析】
（Ⅰ），

．

令，得（舍去）．

当时．；当时，，

故当时，为增函数；当时，为减函数．

为的极大值点，且．………………………………4分

（Ⅱ）原方程可化为，即

……………6分

①当时，原方程有一解；

②当时，原方程有二解；…………8分

③当时，原方程有一解；

④当或时，原方程无解．……………………10分

（Ⅲ）由已知得，

．

设数列的前n项和为，且（）

从而有，当时，．

又

．

即对任意时，有，又因为，所以………14分．

【解析】略