Question

（本小题满分14分）

已知a∈R，函数，g(x)=(lnx-1)e^x+x（其中e为自然对数的底数）．（1）判断函数f(x)在上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线y=g(x)在点x=x₀处的切线与y轴垂直? 若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．（3）若实数m,n满足m>0, n>0,求证：nⁿe^m≥mⁿeⁿ.

Answer

解（1）∵，，∴． ……1分

①若，则，在上单调递增；                  ……2分

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，            ……4分

③若，则，函数在区间上单调递减.   ……5分

（2）【解析】
∵，，

， ……6分

由（1）易知，当时，在上的最小值：，即时，．                                    ……8分

又，∴．                     ……9分

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

而，即方程无实数解．故不存在.                  ……10分

（3）证明：

，由（2）知，令得.……14分

【解析】略