Question

对于函数 ，若存在，使成立，则称为的不动点．如果函数有且仅有两个不动点0，2，且．

（1）     求函数的单调区间；

（2）     已知数列各项不为零且不为1，满足，求证：；

设，为数列的前项和，求证：

Answer

【解析】
（1）设，

所以，所以，由，

又，所以，所以，

于是，

于是易求得的增区间为，减区间为………… 4分

（2）由已知可得，当时，

两式相减得，所以或

当时，，若，则与矛盾，

所以，从而，于是要证的不等式即为，于是我们可以考虑证明不等式：，令，则，

再令，由知，所以当时，单调递增，所以，于是，即①

令，当时，单调递增，所以，于是，即②

由①②可知，所以，

即原不等式成立。                                              ………… 9分

（3）由（2）可知，，在中，令，并将各式相加得

即

【解析】略