Question

广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧州市场，在欧债危机的影响下，欧州市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，主动投入内销产品的研制开发，并基本形成了市场规模，自2010年9月以来的第n个月（2010年9月为每一个月），产品的内销量、出口量和销售总量（内销量与出口量的和）分别为b_n、c_n和a_n（单位万件），分析销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_n＋1＝aa_n，c_n＋1＝a_n＋ba（其中a、b为常数），且a₁＝1万件，a₂＝1.5万件，a₃＝1.875万件.

（1）求a,b的值，并写出a_n＋1与a_n满足的关系式；

（2）如果该企业产品的销售总量a_n呈现递增趋势，且控制在2万件以内，企业的运作正常且不会出现资金危机；试证明：a_n＜a_n＋1＜2.

（3）试求从2010年9月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式.

Answer

【解析】
（1）依题意：an＋1＝bn＋1＋cn＋1＝aan＋an＋ba，

又a2＝aa1＋a1＋ba，∴a＋1＋b＝……………………①

又a3＝aa2＋a2＋ba，∴…………②

解①②得a＝1，b＝－从而an＋1＝2an－a(n∈N*)……………………………（4分）

（2）证法（Ⅰ）由于an＋1＝2an－a＝－(an－2)2＋2≤2.

但an＋1≠2，否则可推得a1＝2与a1＝1矛盾.故an＋1＜2，于是an＜2，

又an＋1－an＝－a＋2an－an＝－an(an－2)＞0，

所以an＋1＞an，从而an＜an＋1＜2.……………………………………………………（9分）

方法（Ⅱ）用数学归纳法

（ⅰ）当n＝1时，a1＝1，a2＝1.5，显然a1＜a2＜2成立，

（ⅱ）假设n＝k时，ak＜ak＋1＜2成立.

由于函数f(x)＝－x2＋2x＝－(x－2)2＋2在［0,2］上为增函数，

则f(ak)＜f(ak＋1)＜f(2)即ak(4－ak)＜ak＋1(4－ak＋1)＜×2×(4－2)

即ak＋1＜ak＋2＜2成立.综上可得n∈N*有an＜an＋1＜2.………………………………（9分）

（3）由an＋1＝2an－a得2(an＋1－2)＝－(an－2)2，即(2－an＋1)＝(2－an)2，

又由（2）知an＜an＋1＜2，可知2－an＋1＞0，2－an＞0，

则lg(2－an＋1)＝2lg(2－an)－lg2，∴lg(2－an＋1)－lg2＝2［lg(2－an)－lg2］

即{lg(2－an＋1)－lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg(2－a1)－lg2＝－lg2

故lg(2－an)－lg2＝(－lg2)·2n－1，∴an＝2－(n∈N*)为所求.……………（13分）

【解析】略