Question

（本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分)

已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝ax²＋3x.

（1）设直线x＝1与曲线y＝f(x)和y＝g(x)分别相交于点P、Q，且曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点P、Q处的切线平行，若方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；

（2）设函数F(x)满足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

【解析】
（1）f′(1)＝2，且P(1,0)，∴f(x)在P点处的切线方程为y＝2(x－1)，

即2x－y－2＝0…………………………………………………………………………（2分）

又g′(1)＝a＋3，∴a＝－1.…………………………………………………………（3分）

故g(x)＝－x2＋3x，则方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k可化为

ln(x2＋1)－x2＝k.令y1＝ln(x2＋1)－x2，则＝－x＝－

令＝0得x＝－1,0,1.因此及y的变化情况如下表：

x

(－∞,－1)

－1

(－1,0)

0

(0,1)

1

(1,＋∞)

＋

0

－

0

＋

0

－

y

极大值

极小值

极大值

且(y1)极大值＝ln2－，(y1)极小值＝0.……………………………………………………（6分）

又∵方程有四个不同实数根，函数y＝ln(x2＋1)－x2为偶函数，且当x2＋1＝e3(x＝＞1)时，ln(x2＋1)－x2＝3－(e3－1)＝－e3＜0＝(y1)极小值，所以0＜k＜ln2－.……………………………………………………………………………………………（8分）

（2）∵F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.

∴F(x)＝(a－3)x2－(a＋3)x－1.………………………………………………………（9分）

①当a＝3时，F(x)＝－6x－1在(0,1］上是减函数，可知F(x)取不到最大值.

②当a＜3时，F(x)的对称轴为x＝，若x∈(0,1］时，F(x)取得最大值.则＞0解得a＜－3或a＞3，从而a＜－3.

③当a＞3时，若x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，则＜时，此时a∈.

综上所述，存在实数a∈(－∞,－3)，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值.……（13分）

【解析】略