Question

(本小题满分13分)

已知f(x)＝m^x(m为常数，m>0且m≠1).

设f(a₁)，f(a₂)，…，f(a_n)…(n∈N^)是首项为m²，公比为m的等比数列.

(1)求证：数列{a_n}是等差数列；

(2)若b_n＝a_n·f(a_n)，且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m＝2时，求S_n；

(3)若c_n＝f(a_n)lgf(a_n)，问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，

求出m的范围；若不存在，请说明理由.

Answer

【解析】
(1)由题意f(an)＝m2·mn＋1，即man，＝mn＋1.

∴an＝n＋1，(2分)       ∴an＋1－an＝1，

∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)

(2)由题意bn＝anf(an)＝(n＋1)·mn＋1，

当m＝2时，bn＝(n＋1)·2n＋1

∴Sn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n＋1)·2n＋1 ①(6分)

①式两端同乘以2，得

2Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2 ②

②－①并整理，得

【解析】略