Question

已知函数定义域为（）,设．

（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

（2）求证:；

（3）求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数．

Answer

（1） 因为

由；由,

所以在上递增,在上递减

欲在上为单调函数,则            -----------------3分

（2）因为在上递增,在上递减,

所以在处取得极小值 

又,所以在上的最小值为 

从而当时,,即                -----------------6分

（3）因为,所以即为,

 令,从而问题转化为证明方程                  =0在上有解,并讨论解的个数  --------7分                  

因为,

,             --------------8分

所以 ① 当时,,

所以在上有解,且只有一解

② 当时,,但由于,

所以在上有解,且有两解

③ 当时,,

所以在上有且只有一解；

④ 当时,在上也有且只有一解    ------------10分

综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

且当时,有唯一的适合题意；

当时,有两个适合题．

【解析】略