Question

（本题12分）已知数列{a_n}中，a₁=0，a₂ =4，且a_n+2-3a_n+1+2a_n= 2ⁿ⁺¹（），

数列{b_n}满足b_n=a_n+1-2a_n．

（Ⅰ）求证:数列{-}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{}的通项公式；

（Ⅲ）求．

Answer

【解析】
（Ⅰ）由 an+2-3an+1+2an= 2n+1  得 （an+2-2an+1）-（ an+1-2an）= 2n+1；

即  bn+1-bn = 2n+1，而 b1=a2-2a1=4， b2 =b1+22=8；

∴ { bn+1-bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列．…………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ），bn+1-bn = 2n+1， b1=4，

∴ bn = （bn-bn-1）+ （bn-1-bn-2）+···+（b2-b1） + b1

=2n + 2n-1 +···+22 +4 = 2n+1．             ………………………6分

即 an+1-2an=2n+1，∴ ；

∴ {}是首项为0，公差为1的等差数列，

则 ，∴．         ………………………9分

（Ⅲ） ∵ ，

∴．    ………………………12分

【解析】略