Question

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足=2(a>0，且a≠1)，设y₃=18, y₆=12.

（1）数列{y_n}的前多少项和最大，最大值为多少？

（2）试判断是否存在自然数M，使得当n>M时，x_n>1恒成立，若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由；

（3）令试比较的大小.

Answer

（1）由题意知{xn}为等比数列，且xn>0，又yn=2logaxn，则yn+1-yn=2logaxn+1-2logaxn=2loga, …………………………………………….3分

∵{xn}为等比数列，则为常数，∴yn+1-yn为常数，∴{yn­}为等差数列，设公差为d.则y6-y3=3d=12-18=-6. ∴d=-2. …………………………………………………5分

∴yn=y3+(n-3)×d=18+(n-3)×(-2)=24-2n, ∴y1=22,

Sn=，显然n=11或n=12时，Sn取得最大值，且最大值为132. ………………………………………………………7分

（2）∵yn­=24-2n=2logaxn, ∴xn=a12-n，又xn>1，即a12-n>1.当a>1时，12-n>0，即n<12.当012.∴当0M时xn>1恒成立. ……………………………………………………11分

（3）=, ∵在(13, +∞)上为减函数，∴ ……………………………………………14分

【解析】略