Question

（本小题满分14分）已知函数.

（Ⅰ）当时，求的单调递增区间；

（Ⅱ）求证：曲线总有斜率为的切线；

（Ⅲ）若存在，使成立，求的取值范围.

Answer

【解析】
（Ⅰ）当时，函数.           

.                        ……………………………………2分

     令，解得或.   ……………………………………3分

所以，函数的单调递增区间是，.

……………………………………4分

（Ⅱ）

令，即.

因为，

所以恒成立.               ……………………………………6分

所以方程对任意正数恒有解.……………………………………7分

所以 曲线总有斜率为的切线.      ……………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：.

令，解得.    

.                                       ……………………………………9分

因为，所以当时，的变化情况如下表

+

0

-

0

+

↗

↘

↗

因为，

所以，对于任意，.即此时不存在，使成立.

                                          ……………………………………11分

当时，的变化情况如下表

+

0

-

↗

↘

因为，

所以，函数在上的最小值是.          

因为存在，使成立，

所以，.

所以，.                             ……………………………………13分

所以的取值范围是.              ……………………………………14分

【解析】略