Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，设　f(x)＝a²x²－(a²－b²)x－4c².

(1)若　f(1)＝0，且B－C＝，求角C；                           

(2)若　f(2)＝0，求角C的取值范围．

Answer

【解析】
(1)由 f(1)＝0，得a2－a2＋b2－4c2＝0，∴b＝2c  -----------2分

又由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC，

将其代入上式，得sinB＝2sinC        --------------------------4分

∵B－C＝ ∴B＝＋C，将其代入上式，得sin(＋C)＝2sinC

∴sincosC＋cossinC＝2sinC，     -----------------------------5分

整理得，sinC＝cosC          ------------------------- --------6分

∴tanC＝

∵角C是三角形的内角，∴C＝            ---------------8分

(2)∵ f(2)＝0，∴4a2－2a2＋2b2－4c2＝0，即a2＋b2－2c2＝0  ------9分

由余弦定理，得cosC＝   ------------10分

∴cosC＝≥＝ (当且仅当a＝b时取等号)  ---------------------11分

∴cosC≥，

∠C是锐角，又∵余弦函数在(0，)上递减，∴0