Question

（本题满分14分）

已知为实数，x=4是函数f(x)=alnx+x²-12x的一个极值点.

（Ⅰ）求的值；           （Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）,由得，

，解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

,

.

当时，；

当时，；

时，.

所以的单调增区间是；的单调减区间是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时，.

所以的极大值为，极小值为

又因为,

.

当且仅当，直线与的图象有三个交点.

所以，的取值范围为.

【解析】略