Question

已知函数，（其中常数）

（1）当时，求的极大值；

（2）试讨论在区间上的单调性；

（3）当时，曲线上总存在相异两点、，使得曲线在点、处的切线互相平行，求的取值范围.

Answer

（1）当时，

           …  …  …  …  …  1分

当或时，；当时，        

∴在和上单调递减，在单调递减              …   3分

故                   …  …  …  …  …  … …  4分（2）…5分

①当时，则，故时，；时，

此时在上单调递减，在单调递减；           …  …  …  6分

②当时，则，故，有恒成立，

此时在上单调递减；                  …  …  …  …  …  …  7分

③当时，则，故时，；时，

此时在上单调递减，在单调递减            …  …  …  8分

（3）由题意，可得（，且）

即          …  …  9分

∵，由不等式性质可得恒成立，又

∴  对恒成立      11分

令，则对恒成立

∴在上单调递增，∴                …  …  12分

故            …  …  …  …  …  …  …  … …  …  13分

从而“对恒成立”等价于“”

∴的取值范围为            

【解析】略