Question

已知数列满足，数列满足，数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）试比较与的大小，并说明理由；

（3）我们知道数列如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数呢? 若会，求出的取值范围；若不会，请说明理由．

Answer

（1）由得：， ……………3分

∴是等差数列，首项，公差；

∴，从而，    ………………………………5分

（2）由（1）得 ，，

构造函数 则

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，

∴，即，当且仅当时取等号， …8分

∴，即，当且仅当时取等号，

∴，当且仅当时取等号， …………………………10分

（3）由（1）知，显然是一个递减数列，

∴ 对 恒成立。

取，

则

∴存在满足恒成立，的取值范围是

【解析】略