Question

已知函数f（x）=－x²+2lnx．

(Ⅰ)求函数f（x）的最大值；

(Ⅱ)若函数f（x）与g(x)=x+有相同极值点，

(i)求实数a的值；    ’

 (ii)若对于x₁ ，x₂∈[，3 ]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（），··············· 1分

由得，；由得，.

∴ 在上为增函数，在上为减函数．3分

∴ 函数的最大值为．4分

（Ⅱ）∵ ， ∴ ．

（ⅰ）由（Ⅰ）知，是函数的极值点，

又∵ 函数与有相同极值点，

∴  是函数的极值点，

∴ ，解得．7分

经检验，当时，函数取到极小值，符合题意．8分

（ⅱ）∵ ，，，

∵ ，  即  ，

∴ ，．9分

由（ⅰ）知，∴ .

当时，；当时，．

故在为减函数，在上为增函数．

∵ ，

而  , 

∴ ，． 10分

① 当，即时，

对于，不等式恒成立

，

∴  ，又∵ ，∴ ． 12分

② 当，即时，

对于，不等式

．

∵  ，

∴ ．

又∵，∴ ．          

综上，所求的实数的取值范围为．

【解析】略