Question

(本小题满分1 4分)已知m，t∈R，函数f (x) =(x - t)³+m．

(I)当t =1时，

(i)若f (1) =1，求函数f (x)的单调区间；

(ii)若关于x的不等式f (x)≥x³—1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；

(Ⅱ)已知曲线y= f (x)在其图象上的两点A(x₁，f (x₁))，B(x₂，f (x₂)))( x₁≠x₂)处的切线

分别为l₁、l₂．若直线l₁与l₂平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．

Answer

【解析】
（Ⅰ）(i)因为，所以，·················· 1分

则， 而恒成立，

所以函数的单调递增区间为．·············· 4分

（ii）不等式在区间上有解，

即  不等式在区间上有解，

即  不等式在区间上有解，

等价于在区间上的最小值，············· 6分

因为时，，

所以的取值范围是．···················· 9分

（Ⅱ）因为的对称中心为，

而可以由经平移得到，

所以的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，则点与点关于点对称． 10分

对猜想证明如下：

因为

所以

所以，，的斜率分别为，．

又直线与平行，所以，即，

因为，

所以，，························ 12分

从而，

所以．

又由上

所以点关于点（对称.

故直线与平行时，点与点关于点对称．·········· 14分

【解析】略