Question

．(本小题满分14分)已知函数f (x)=lnx，g(x)=e^x．

( I)若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间；

(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x₀，f (x₀))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g(x)相切．

Answer

【解析】
（Ⅰ） ，

．·················· 2分

∵且，

∴

∴函数的单调递增区间为．··············· 4分

   （Ⅱ）∵ ，∴，

∴ 切线的方程为,

     即, ① ··················· 6分

设直线与曲线相切于点，

∵，∴，∴．··············· 8分

     ∴直线也为，

即，  ②···················· 9分

    由①②得 ，

∴．·························· 11分

     下证：在区间（1，+）上存在且唯一.

由（Ⅰ）可知，在区间上递增．

又，，······ 13分

    结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．                                               

故结论成立．

【解析】略