Question

．(本小题满分l 4分)

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

(Ⅰ)求证：BD⊥平面POA；

 (Ⅱ)当PB取得最小值时，请解答以下问题：

(i)求四棱锥P-BDEF的体积；

(ii)若点Q满足=λ (λ >0)，试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于?并说明理由．

Answer

（Ⅰ）证明：

∵ 菱形的对角线互相垂直，

∴，∴，······················ 1分

∵  ，∴．                          

∵ 平面⊥平面，平面平面，

且平面，

∴ 平面,  ······················· 2分

∵  平面，

∴ .···························· 3分                                       

∵  ，

∴ 平面. ························· 4分

（Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系.··········· 5分

（ⅰ）设 

因为，所以为等边三角形，

故，.

又设，则，.

所以，，，

故 ，··················· 6分

所以，

当时，. 此时，··········· 7分

由（Ⅰ）知，平面

所以. ······ 8分

（ⅱ）设点的坐标为，

由（i）知，，则，，，.

所以，，·············· 9分

∵，

∴．              

∴，

∴．    ···· 10分

设平面的法向量为，则．

∵，，∴ ，

取，解得：， 所以. ············· 11分

设直线与平面所成的角，

∴

．········ 12分

又∵∴．······················· 13分

∵，∴．

因此直线与平面所成的角大于，即结论成立． ········· 14分

【解析】略