Question

（本小题满分12分）

已知函数，．

（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；

（Ⅱ）证明: 当时，求证：；

（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立,求的最大值．

Answer

解:（Ⅰ）,

所以 ．  

当时，；当时，．

因此，在上单调递增，在上单调递减．

因此，当时，取得最大值；        ------------------4分

（Ⅱ）当时，．

由（1）知：当时，，即．

因此，有．--------------8分

（Ⅲ）不等式化为

所以对任意恒成立．

令，则，

令，则，

所以函数在上单调递增．

因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当，即，当，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以．

所以．

故整数的最大值是．                       -----------------12分

【解析】略