Question

（本小题满分12分．其中（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E、F分别为棱BC、AD的中点．

（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值；

（Ⅱ）若二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积

Answer

【解析】
（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形

Þ∥且=Þ为平行四边形

Þ ∥Þ的所成角．

中，BF= ,PF=，PB=3Þ

Þ异面直线PB和DE所成角的余弦为                     ……………6分

（Ⅱ）（法一）过作的垂线，垂足为，连结

因为面，由三垂线定理，可知

所以即为二面角的平面角                 ……………8分

又，

所以，                                 ……………12分

（法二）以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a,

可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，则有： 

因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为， 

设平面PFB的一个法向量为，则可得      即 

令x=1,得，所以.  由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得：， 解得 

因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为．………12分

【解析】略