Question

(13分)四棱锥的底面是边长为1的正方形,

  ,, 为上两点,且

  .

  (1)求证:面;

  (2)求异面直线PC与AE所成的角

  (3)求二面角的正切值.

Answer

法1:(1)连BD交AC于O,连OE.

   (2)过E作交于,则为异面直线所成的角或补角，由计算可得

      ，在中用余弦定理可得

       ，则异面直线所成的角为。

   (2)由PA=1, AD=1,  PD=

    ∴PA⊥面ACD   又CD⊥AD  ∴CD⊥PD.

    取PD中点M. ∴AM⊥面PCD, 过M作MN⊥CE交CE于N.

    连AN 则∠ANM为A-EC-PE切值.

    AM=.又△MNE∽△CDE     ∴

    Pt△AMN中,

   法2:以A为坐标原点.AB为轴,AD为轴,AP为轴建立坐标系.

    则B(1,0,0), D(0,1,0), P(0,0,1), C(1,1,0), , E

   (1).设面ACE法向量

    ∴BF//面ACE.

   (2) ，，

      则异面直线所成的角为

   (3)设面PCE法向量 则

    ∴二面角A-EC-P的正切值为.

【解析】略