Question

（本小题满分12分）

如题21图，已知离心率为的椭圆过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线交椭圆C于不同的两点A、B。

（1）求面积的最大值；

（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形。

Answer

【解析】
（Ⅰ）设椭圆的方程为:．

由题意得: 

∴ 椭圆方程为．……………3分

由直线,可设   将式子代入椭圆得：

设,则  ……………5分

由题意可得 △  于是且

故

 当且仅当 即 时,面积的最大值为．

                                                  ……………7分

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，

则  ……………9分

下面只需证明：，事实上，

故直线、与轴围成一个等腰三角形．……………12分

【解析】略