Question

本题满分14分)

已知函数,,设.

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值；

(Ⅲ)是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在,说明理由.

Answer

解:(Ⅰ),.

∵ ,由,∴ 在上单调递增；

由，∴ 在上单调递减.

∴ 的单调递减区间为,单调递增区间为.……………4分

(Ⅱ),恒成立

当时,取得最大值,∴ ,∴ .……………8分

(Ⅲ)若的图象与的图象恰有四个不同得交点，即有四个不同的根,亦即有四个不同的根.

令,则,

当变化时,、的变化情况如下表:

＋

－

＋

－

由表格知:,.

又∵ 可知,当时,与

恰有四个不同的交点.

∴当时,

的图象

与的图象恰有四个不同的交点. ………………14分

【解析】略