Question

(本题满分14分) 已知

  （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

   （Ⅱ）若在处有极值，求的单调递增区间；

   （Ⅲ）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值；

        若不存在，说明理由.

Answer

【解析】
（Ⅰ）由已知得的定义域为，

     因为，所以           

    当时，，所以，

    因为，所以           ……………………2分

        所以曲线在点处的切线方程为

        ，即.            …………………………4分

        （Ⅱ）因为在处有极值，所以，

        由（Ⅰ）知，所以          

        经检验，时在处有极值．        …………………………5分

        所以，令解得；

        因为的定义域为，所以的解集为，

        即的单调递增区间为.  …………………………………………8分

        （Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，

    ① 当时，因为，所以 ，

    所以在上单调递减，

   ，解得，舍去.     ……………………10分              

    ②当时，在上单调递减，在上单调递增，

    ，解得，满足条件. …………………12分

    ③ 当时，因为，所以，

    所以在上单调递减，，

    解得，舍去.

    综上，存在实数，使得当时有最小值3. ……………14分

【解析】略