Question

如图，在直三棱柱中，，，分别为，

的中点，四边形是边长为的正方形．

（1）求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

Answer

（1）证明：在直三棱柱中，

   平面，又平面，  所以．

 因为，为中点， 所以．又，

所以平面．

又平面，所以．

因为四边形为正方形，，分别为，的中点，

所以△≌△，．

所以．

所以．又，

所以平面．                ……………………6

（2）【解析】
如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系．  则．

  由（Ⅱ）知平面，所以为平面的一个法向量．

设为平面的一个法向量，

，．

由可得

令，则．

所以．从而．

因为二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

【解析】略