Question

在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，底面ABCD是菱形，∠A＝60°，E是AD的中点，F是PC的中点．

(Ⅰ)求证：BE⊥平面PAD；

(Ⅱ)求证：EF∥平面PAB；

Answer

(Ⅰ)证明：∵AB＝2，∴AE＝1，

∴BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos ∠A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，

∴AE2＋BE2＝1＋3＝4＝AB2，∴BE⊥AE.

又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，

∴BE⊥平面PAD.

(Ⅱ)证明：取BC的中点G，连接GE，GF.则GF∥PB，EG∥AB，

又GF∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PAB，∴EF∥平面PAB.

(Ⅲ)【解析】
∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC.

∴点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离．

因为平面PBE⊥平面PBC.

又平面PBE∩平面PBC＝PB，

作EO⊥PB于O，则EO是E到平面PBC的距离，

且PE＝＝1，BE＝，∴PB＝2.

由EO·PB＝PE·EB，

∴EO＝＝.

【解析】略