Question

已知椭圆的对称轴为坐标轴,且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,又点在椭圆上.

（1）求椭圆M的方程;

（2）已知直线的方向向量为  ,若直线与椭圆交于两点,求面积的最大值.

Answer

(1)由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为.

将点代入方程得,整理得,

解得或 (舍).

故所求椭圆方程为.

 （2）设直线的方程为,设

代入椭圆方程并化简得,           

由,可得 .       

由,

故，又点到的距离为,                           

故,

当且仅当时取等号(满足式)

所以面积的最大值为. 

【解析】略