Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形．

(1)求出的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式求出的表达式；

(3)求的值.

【解析】本试题主要考查了合情推理中归纳推理的运用，并能得到一般性结论，求出的表达式，并在此基础上能求解和式的值运算，结合数列和推理的一道综合试题。

Answer

【解析】
(1)f(5)＝41.

(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

……

由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

因为f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n

⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.

(3)当n≥2时，＝＝(－)，

∴＋＋＋…＋＝1＋·(1－＋－＋－＋…＋－)＝1＋ (1－)＝－.