Question

已知函数，，其中．

（1）若是函数的极值点，求实数的值；

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）解法1：∵，其定义域为，   ∴．                

∵是函数的极值点，∴，即．                                         

∵，∴．                                              

经检验当时，是函数的极值点，

∴．                                             

解法2：∵，其定义域为，∴．               

令，即，整理，得．

∵，

∴的两个实根（舍去），，

当变化时，，的变化情况如下表：

—

0

＋

↘

极小值

↗

依题意，，即，

∵，∴．                           

（2）【解析】
对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．                       

当［1，］时，．∴函数在上是增函数．

∴．                       

∵，且，．

①当且［1，］时，，

∴函数在［1，］上是增函数，

∴.

由≥，得≥，又，∴不合题意．                                 

②当1≤≤时，若1≤＜，则，

若＜≤，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴.

由≥，得≥，

又1≤≤，∴≤≤．                    

③当且［1，］时，，

∴函数在上是减函数．

∴.

由≥，得≥，

又，∴．

综上所述，的取值范围为．

【解析】略