Question

已知是正数组成的数列，，且点在函数的图象上.

(1)求数列的通项公式；

(2)若列数满足,，求证：

Answer

解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,

所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.

故an=1+(a-1)×1=n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.

因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,

所以bn·bn+2＜b,

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为b2=1,

bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）

=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n〈0，所以bn-bn+2