Question

已知函数，，其中是的导函数．

（1）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；

（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点．

Answer

（1）由题意，得，

设，．

对中任意值，恒有，即，

即

解得．

故时，对满足的一切的值，都有；

（2），

①当时，的图象与直线只有一个公共点；

②当时，列表：

极大值

最小值

，

又的值域是，且在上单调递增，

当时，函数的图象与直线只有一个公共点．

当时，恒有，

由题意，得，

即，

解得．

综上，的取值范围是 

【解析】(1)先求出，当时，恒成立，所以令,则只需,解此关于x的不等式即可.

(2) 本小题要利用导数研究出y=f(x)的极值及图像，然后利用直线y=3与函数y=f(x)只有一个公共点时得到关于m的不等式，即可解出m的取值范围.