Question

（本题满分16分）已知函数。

（Ⅰ）当时，证明函数不是奇函数；

（Ⅱ）判断函数的单调性，并利用函数单调性的定义给出证明；

（Ⅲ）若是奇函数，且在时恒成立，求实数的取值范围。

Answer

（Ⅰ）当时，，因为，，

所以，故不是奇函数；  ……………………………………4分

（Ⅱ）函数在上为单调增函数， …………………………………………  6分

证明：设，则……… 8分

∵，∴，，且

又∵，∴

∴，故。

∴函数在上为单调增函数。…………………………………………………10分

（Ⅲ）因为是奇函数，所以对任意恒成立。

即对任意恒成立．

化简整理得对任意恒成立． ∴…………………12分

又因为在时恒成立，

所以在时恒成立，

令，设，且，

则

由（Ⅱ）可知，，又，

所以，即，

故函数在上是增函数。………………………14分

所以，由。

因此的取值范围是。  ………………………………………………16分

【解析】略