Question

如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.

（1）求证：；

（2）求正方形ABCD的边长；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1） AE是圆柱的母线底面BEFC, 又面BEFC    

又ABCD是正方形 又面ABE 

又面ABE          …… 3分

（2）四边形为矩形，且ABCD是正方形 EFBC          

        四边形EFBC为矩形 

BF为圆柱下底面的直径           …… 4分      

设正方形ABCD的边长为，则AD=EF=AB=

在直角中AE=2，AB=，且BE2+AE= AB，得BE=2-4        

在直角中BF=6，EF=，且BE+EF= BF，的BE2=36-2        …… 6分

解得=，即正方形ABCD的边长为                        …… 7分

（3）如图以F为原点建立空间直角坐标系,则A(，0，2),B(，4，0),

E(，0，0),(，0， 2),(，4，0), (，0，0) 

设面AEF的法向量为(，，)，则

令，则即(，，-)               …… 11分

设直线与平面所成角的大小为，则

   …… 12分

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【解析】(1)证明线线垂直，可以通过证明线面垂直来解决.本题只要证即可.（2）在中求AB的长，在中求BC的长，然后根据AB=BC即可求出BE的长度.进而确定正方形ABCD的边长.

（3）可以借助向量建系来解决，也可以利用三垂线定理作出直线FE与平面ABF所成的角.然后再求解.