Question

（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与轴交于点C。

（1）证明：；

（2）求的最大值，并求取得最大值时线段AB的长。

Answer

【解析】

（Ⅰ）由题设知，F(，0)，C(－，0)，

设A(x­1，y1)，B(x2，y2)，直线l方程为x＝my＋，

代入抛物线方程y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0．

y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2．                                     …4分

不妨设y1＞0，y2＜0，则∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF．                     …8分此时∠ACF取最大值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，

并且A(，p)，B(，－p)，|AB|＝2p．                      …12分

【解析】本题以直线和抛物线的位置关系为背景考查角的证明以及最值问题，考查学生的计算能力和转化能力，第一问可通过直线和方程联立，借助韦达定理和计算角的正切值进行证明；第二问借助第一问的结论，借助均值不等式进行求解最值.