Question

已知数列{a_n}满足S_n＋a_n＝2n＋1,  (1) 写出a₁, a₂, a₃,并推测a_n的表达式；

(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

Answer

(1) a1＝, a2＝, a3＝,          

猜测 an＝2－                   

(2)证明： ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；         

②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－,      

 当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,

 且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

 ∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

 ∴2ak＋1＝2＋2－,  ak＋1＝2－,      即当n＝k＋1时,命题成立.  

综合(1),(2)可知：对于任意正整数n,都有 

【解析】略