Question

已知函数.（为自然对数的底）

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）是否存在常数使得对于任意的正数恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）【解析】
由，得.

令，得，所以.                                  2分

当时，，所以在内是减函数；          

当时，，所以在内是增函数.               2分

故函数在处取得最小值.                          2分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，有，

即，当且仅当时，等号成立.

即两曲线，有唯一公共点.                       3分

若存在,，则直线是曲线和的公切线，切点为.      3分

由，得直线的斜率为.

又直线过点，所以，得.

故存在，，使得对于任意正数恒成立.   3分

【解析】略