Question

设P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是曲线y=上的点列，Q₁，Q₂，Q₃， …，Q_n，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n－1Q_nP_n，…都是正三角形，设它们的边长为a₁，a₂，…，a_n，…，求证：a₁+a₂+…+a_n=n（n+1）.（13分）

                                                

Answer

证明：（1）当n=1时，点P1是直线y=x与曲线y=的交点，

∴可求出P1（，）.

∴a1=|OP1|=.而×1×2=，命题成立.（6分）

（2）假设n=k（k∈N*）时命题成立，即a1+a2+…+ak=k（k+1），则点Qk的坐标为（k（k+1），0），

∴直线QkPk+1的方程为y=[x－k（k+1）].代入y=，解得Pk+1点的坐标为

∴ak+1=|QkPk+1|=（k+1）·=（k+1）.

∴a1+a2+…+ak+a k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2）.

∴当n=k+1时，命题成立.

由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立.（13分）

【解析】略