Question

抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．

Answer

如图所示，依题意，设抛物线方程为y2＝2px，则直线方程为y＝－x＋p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D.

则由抛物线定义得

|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|

＝x1＋＋x2＋，………………4分

即x2＋＋x2＋＝8.①

又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，

由消去y，得x2－3px＋＝0，

Δ＝9p2－4×＝8p2＞0.

所以x1＋x2＝3p.

将其代入①得p＝2，

所以所求抛物线方程为y2＝4x.

当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，

同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.

故所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.………………8分

【解析】略