Question

已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F₁、F₂是椭圆的两焦点，若PF₁⊥PF₂，试求：

(1)椭圆方程；

(2)△PF₁F₂的面积．

Answer

【解析】
(1)法一：令F1(－c,0)，F2(c,0)，

∵PF1⊥PF2，∴kPF1·kPF2＝－1，………………3分

即·＝－1，解得c＝5，

∴椭圆方程为＋＝1.

∵点P(3,4)在椭圆上，

∴＋＝1，

解得a2＝45或a2＝5，

又a>c，∴a2＝5舍去，

故所求椭圆方程为＋＝1.………………5分

法二：∵PF1⊥PF2，

∴△PF1F2为直角三角形，

∴|OP|＝|F1F2|＝c.

又|OP|＝＝5，∴c＝5，

∴椭圆方程为＋＝1(以下同法一)．………………5分

(2)法一：P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，

∴S△PF1F2＝|F1F2|×4＝×10×4＝20.………………10分

法二：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝6①

又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2②

①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，

∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.………………10分

【解析】略