Question

（本题满分12分）

已知椭圆G的中心在坐标原点,与双曲线有相同的焦点，且过点.

(Ⅰ) 求椭圆G的方程；

(Ⅱ) 设、是椭圆G的左焦点和右焦点，过的直线与椭圆G相交于A、B两点，请问的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及直线的方程，若不存在,请说明理由.

Answer

【解析】
(Ⅰ)双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为

设椭圆的长轴长为，则，即，又，所以

∴椭圆G的方程

 (Ⅱ)如图,设内切圆M的半径为,与直线的切点为C，

则三角形的面积等于的面积+的面积+的面积.

即.

当最大时,也最大, 内切圆的面积也最大, 

设、(),则,

由,得,

解得,,

∴,令,则,且,

有,令,则,

当时,,在上单调递增,有,,

即当,时,有最大值,得,这时所求内切圆的面积为,

∴存在直线,的内切圆M的面积最大值为.

【解析】略