Question

（本小题共13分）已知函数.

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．

Answer

【解析】
（Ⅰ）当时，，.

，．                ………3分

所以所求切线方程为即．       ……5分 

（Ⅱ）.

令，得.                        ………7分

由于，，的变化情况如下表：

+

0

—

0

+

单调增

极大值

单调减

极小值

单调增

所以函数的单调递增区间是和.     …………9分

要使在区间上单调递增，

应有 ≤ 或  ≥， 

解得≤或≥．                                 …………11分

又   且，                           …………12分

所以 ≤．   

即实数的取值范围 ．                    …………13分

【解析】本题考查切线方程和函数的最值问题。考查学生利用导数法解决问题的能力.如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 注意：“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不相同的，后者必为切点，前者未必是切点.本题的第一文是在点处，故直接求解即可；通过对函数求导，分析函数的单调性，寻求函数的最值是常规的解题思路，往往和分类讨论思想结合在一起考查。如本题的第二问，通过函数单调递增的等价性判断参数m范围.