Question

（本小题共13分）已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．

Answer

【解析】
（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，

故椭圆方程为．                    …………5分

（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．

设，，

由  得 ．      ………7分

则．                       

由已知，

所以，

即．                                ………10分

所以，整理得 ．

故直线的方程为，即（）．

所以直线过定点（）．                            ………12分

若直线的斜率不存在，设方程为，

设，，

由已知，

得．此时方程为，显然过点（）．

综上，直线过定点（）．                    ………13分

【解析】本题考查椭圆的方程和直线与椭圆的相交问题，考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力. 待定系数法：如果题目给出是何曲线，可根据题目条件，恰当的设出曲线方程，然后借助条件进一步确定求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考。“定形”是指对称中心在原点，焦点在哪条对称轴上；“定式”是指根据“形”设出相应的椭圆方程的具体形式；“定量”是指利用定义法或待定系数法确定的值.本题第一问利用椭圆的离心率和直线与椭圆相切判别式为0得到两个等式求解的值；关于直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，一般先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果得到可以成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的量，则说明假设不成立.本题的第二问就是利用这个解题思路，借助韦达定理和距离公式进行转化和探索.