Question

（本小题共13分）已知函数，其中．

（Ⅰ）求证：函数在区间上是增函数；

（Ⅱ）若函数在处取得最大值，求．

Answer

证明：（Ⅰ）．

因为且，所以．

所以函数在区间上是增函数．                  …………6分

（Ⅱ）由题意.

则.    …………8分

令，即. ①

由于 ，可设方程①的两个根为，，

由①得，

由于所以，不妨设，

．

当时，为极小值，

所以在区间上，在或处取得最大值；

当≥时，由于在区间上是单调递减函数，所以最大值为，

综上，函数只能在或处取得最大值．      …………10分

又已知在处取得最大值，所以≥，

即≥，解得≤，又因为，

所以（］．                                      ………13分

【解析】本题考查函数的最值、极值和函数的单调区间，考查学生利用导数法求解函数性质的解题能力。解题时须注意求导的准确性和明确函数的定义域；求解函数的最值，一般思路是明确函数的定义域，利用求导判断函数的单调性，然后再给定的区间上判断函数的最值。本题的第一问按照函数递增的等价性进行证明；第二问中利用函数的最值情形，根据分类讨论思想讨论的取值范围.