Question

（本小题共13分）已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，

故椭圆方程为．                    …………5分

（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，

设，

因为，，故．                     …………7分

于是设直线的方程为，

由得．

由，得， 且,．    ……9分

由题意应有，又，

故，

得．

即．

整理得．

解得或．                               …………12分

经检验，当时，△不存在，故舍去．

当时，所求直线存在，且直线的方程为．

                                                     …………13分

【解析】本题考查椭圆的方程和直线与椭圆的相交问题，考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力. 待定系数法：如果题目给出是何曲线，可根据题目条件，恰当的设出曲线方程，然后借助条件进一步确定求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考。“定形”是指对称中心在原点，焦点在哪条对称轴上；“定式”是指根据“形”设出相应的椭圆方程的具体形式；“定量”是指利用定义法或待定系数法确定的值.本题第一问利用椭圆的离心率和直线与椭圆相切判别式为0得到两个等式求解的值；关于直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，一般先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果得到可以成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的量，则说明假设不成立.本题的第二问就是利用这个解题思路，借助韦达定理和距离公式进行转化和探索.